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第六篇文章

充分统计量

Definition： $U=\phi(X_1,X_2,\dots,X_n)$ $\theta$ 完全统计量 $u$ ，如果

E_\theta(u(\phi(X_1,X_2,\dots,X_n)))=0

可以推出

P_\theta(u(\phi(X_1,X_2,\dots,X_n))=0)=1

$\phi(X_1,X_2,\dots,X_n)=\sum_{1}^{n}X_i$
$\phi_1(X_1,X_2,\dots,X_n)=(\sum_{1}^{k}X_i,\sum_{k+1}^{n}X_i)$ 不是完全统计量
该保留的信息都保留——充分性
该丢掉的信息都丢掉——完全性
$\theta$ 有内点，则指数分布族中的充分统计量

(\sum_1^{n}T_1(x_i),\sum_1^{n}T_2(x_i),\cdots,\sum_1^{n}T_n(x_i))

也是完全的
定理 $\phi(X_1,X_2,\dots,X_n)$ $\theta$ $\psi(\phi(X_1,X_2,\dots,X_n))$ $g(\theta)$ $g(\theta)$ 一致最小方差无偏估计，且在概率为1的意义下唯一

$(\bar{X},\sum (X_i-\bar{X})^2)$ $E(\bar{X})=\mu$ $S=\frac{\sum (X_i-\bar{X})^2}{n-1}$ $\sigma^2$ 的无偏估计，也是一致最小方差无偏估计

$f(x;\theta),\theta\in(a,b),(X_1,X_2\cdots,X_n)$ $\phi(X_1,X_2,\dots,X_n)$ $g(\theta)$ 的无偏估计,则在下列条件下,

我们有不等式

var_\theta(\phi(X_1,X_2,\dots,X_n))\ge \frac{g'(\theta)}{nl(\theta)}

其中

l(\theta)=: E_\theta(\frac{\partial\log f(x;\theta)}{\partial\theta})^2>0

为Fisher信息量

例1：两点分布 X~B(1,p)

f(x,p)=p^x(1-p)^1-x

l(\theta)=: E_\theta(\frac{\partial\log f(x;\theta)}{\partial\theta})^2=E_\theta(\frac{X}{p}-\frac{1-X}{1-p})=\frac{1}{p(1-p)}

$\mu,\sigma_0^2$ ) 则

\frac{\partial\log f(x;\theta)}{\partial\theta}=\frac{x-\mu}{\sigma_0^2}

l(\mu)=

以上例子都达到了C-R不等式的下界

$0,\theta$ )

$\hat{\theta}=\frac{n+1}{n}maxX_i$ $\hat{\theta}$ $\theta$ $Var(\hat{\theta})=\frac{\theta^2}{n(n+2)}$ ,比C-R不等式更快的趋向于0，但同时其不满足条件(1)

\frac{1}{n}g'(\theta)^Tl(\theta)^{-1}g'(\theta)

\sqrt{n}(\hat{\theta}_n-\theta)\rightarrow N(0,\sum(\theta))

$\sum(\theta)$ $l(\theta)$ 的关系