置信区间

点估计：用 $\phi(X_1,X_2,\cdots,X_n)$ 估计 $g(\theta)$ ，一般完整的估计要求给出或估计估计量的标准差。之后利用中心极限定理给出一个区间估计
区间估计：用随机区间 $[\phi_1(X_1,X_2,\cdots,X_n),\phi_2(X_1,X_2,\cdots,X_n)]$ 估计 $g(\theta)$

下面均价设为正态分布

1.已知方差，求期望 $\mu$ 的置信区间
我们有 $\bar{X}=\sum X_i N(\mu,\sigma_0^2)$ 所以

\eta=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{\sigma_0^2/n}}~ N(0,1)

取 $\gamma=0.95$ ,则 $P(|\eta|<1.95)=\gamma$
在这里其实置信区间有无数种取法，（在引入优良性准则后我们会知道这样会极小化置信区间长度）

2.未知方差 $\sigma_0^2$ ,求未知期望 $\mu$ 的置信区间
由于不能采用1的做法，我们研究T分布

定理3.1.设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 独立同分布，则 $\phi=\sum_1^n X_i^2$ 服从分布 $\Gamma（\frac{n}{2},\frac{1}{2}）$

定义：若 $\xi\sim\Gamma（\frac{n}{2},\frac{1}{2}）$ 称 $\xi$ 满足自由度为n的 $\chi^2$ 分布

推论1 若$\xi\sim\chi(n) $，则$ E(\xi)=n$

推论2 若$\xi_1\sim\chi(n) ,\xi_2\sim\chi(m) $,则$ \xi_1+\xi_2\sim\chi(m+n)$

定理3.2 $X_i~N(\mu_i,\sigma^2) ,A=(a_{ij})$ 为正交矩阵，令 $(Y_1,Y_2\cdots ,Y_n)^T=A(X_1,X_2\cdots ,X_n)$ ,则 $Y_i\sim N(\sum_k a_{ik}\mu_k,\sigma^2)$

定理3.3 $X_i$ 独立同分布, $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ ,则

(1)\bar{X}=\frac{1}{n}\sum X_i \sim N(\mu,\sigma^2)\\ (2)\frac{1}{\sigma^2}\sum(X_i-\bar{X})^2\sim\chi^2 (n-1)\\ (3)\bar{X}与\sum (X_i-\bar{X})^2独立

下面我们研究

T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)/\sigma}{\sqrt{\frac{1}{(n-1)\sigma^2}\sum (X_i-\bar{X})^2}}

我们称其为自由度为n-1的t分布
我们知道分母服从部分正太分布，分子服从 $\chi^2$ 分布，其密度函数与正太分布类似，但在远处收敛速度比正太分布远慢
记为

\xi\sim t(n-1)

对任意 $t \in R$ 有

lim p_n=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}

利用上述结论

T=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{S_/n}}

仅有参数 $\mu$
可以求得 $\mu$ 的置信区间

3.未知期望 $\mu$ ，求 $\sigma^2$ 的置信区间
只要注意到

\frac{1}{\sigma^2}\sum(X_i-\bar{X})^2\sim\chi^2 (n-1)

则

P(\lambda_1\le\chi^2 (n-1)\le\lambda_2)=\gamma

可求出 $\sigma^2$ 的置信区间

我们将上面的方法称为枢轴量方法

设 $X_1\sim F(x,\theta),g(\theta)为实值函数$ ，设 $\phi(X_1,X_2\cdots X_n)$
令

G(u,\theta)=P_{\theta}(\phi(X_1,X_2\cdots X_n)\ge u)

则 $G(u,\theta)$ 为u的左连续减函数。给定置信水平 $0\le \gamma \le 1$