Gamma函数、Beta函数、余元公式

这是我的第一篇文章

$\Gamma(x)=\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$

被定义为Gamma函数

Gamma函数的几种形式
做代换$t=r^2$,得

$\Gamma(x)=2\int r^{2x-1}e^{-r^2}dr$

而由分部积分公式

$\int_{0}^{\infty}t^{x-1}e^{-t}dt =-(e^{-t}t^{x-1}\bigg|_{0}^{\infty}-(x-1)\int_{0}^{\infty}t^{x-2}e^{-t}dt)=(x-1)\int_{0}^{\infty}t^{x-2}e^{-t}dt$

得

$\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1)$

那我们可以得到n为正整数时

$\Gamma(n)=(n-1)!$

Beta函数是由两个参变量p,q所决定得瑕积分定义的函数

$B(p,q)=\int_{0}^{1}x^{p-1}(1-x)^{q-1}dx$

Beta函数有以下性质

$B(p,q)=B(q,p)$

$B(p,q)=\frac{p-1}{p+q-1}B(p-1,q)$

第一个等式是明显的，对于第二个等式，利用分部积分公式我们有

$B(p,q)=B(q,p)=\frac{1}{q}x^q(1-x)^{p-1}\bigg|_{0}^{1}+\frac{p-1}{q}\int x^q(1-x)^{p-2}dx\\ =\frac{p-1}{q}(B(q,p-1)-B(q,p))$

则命题得证！

B函数的其他形式
做代换$x=sin^2\theta$，有

$B(p,q)=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta$

做代换$x=\frac{t}{1+t}$,有

$B(p,q)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{q-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$

Gamma函数和Beta函数之间的关系,我们有下面的等式成立

$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$

等式的证明

$\Gamma(p)\Gamma(q)=4\int_{D}x^{2p-1}y^{2q-1}e^{-x^2-y^2}dxdy$

其中$D={((x,y):0\le x < \infty,0\le y < \infty)}$
利用极坐标代换$x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$

$\Gamma(p)\Gamma(q)=4\int_{D_{1}}r^{2p+2q-1}e^{-r^2}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta dr \\=(2\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{2p-1}\theta\sin^{2q-1}\theta d\theta)(2\int_{0}^{\infty}r^{2p+2q-1}e^{-r^2}dr) \\=B(p,q)\Gamma(p+q)$

则命题得证

余元公式

$B(p,1-p)=\Gamma(p)\Gamma(1-p)=\frac{\pi}{\sin\pi}$

证明如下
考虑围道积分

我们有

$\oint_{C}=\oint_{C_{\epsilon}}+\oint_{C_R}+\int_{\epsilon}^{R}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx+\int_{R}^{\epsilon}\frac{(xe^{2\pi i})^{p-1}}{1+x}dx$

$\epsilon\rightarrow0,R\rightarrow\infty$时
由

$\oint_{C_{\epsilon}}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx\le\max_{C_{\epsilon}}|\frac{x^{p-1}}{1+x}|2\pi\\ \oint_{C_{R}}\frac{x^{p-1}}{1+x}dx\le\max_{C_{R}}|\frac{x^{p-1}}{1+x}|2\pi$

知

$\oint_{C_{\epsilon}}=\oint_{C_R}=0$

由留数定理知

$\oint_{C}=2\pi iRes(\frac{z^{x-1}}{1+z},-1)$

由上式得

$\int_{0}^{\infty}\frac{x^s}{1+x}dx=\frac{\pi}{\sin p\pi}$